外测度其实就是体积，有如下定理：
图1
上图中的不等式
图a
是因为I就是包含自身的立方体，按照外测度的定义
，即函数值的下确界要小于等于函数值本身，所以不等式成立。也可以按照
令ε趋于0得到。
再注意图1中的δ是一个无穷小，而δε，所以
成立。
上图中由
图2
推出
图3
个人是这样理解的：
因为外测度是函数值的下确界，而下确界与函数值只是相差一个无穷小，但图2的不等式两边都是确定的数字，所以两者之间至少相差一个ε，而ε比无穷小大，所以得到图3的结论。
整个证明的思路就是通过中间集合J的创建，想方设法得到图2，然后再得到图3的结论。
最后结合图a和图3，得到要证明的定理。
图1中考虑的是左开右闭区间的情形，其它情况比如左闭右开等等，也可以类似证明。
那么，通过如此复杂的外测度来定义体积，目的是什么呢？
假设区间I全部是有理数组成的集合，由于有理数是可列的，即可以认为有理数之间是隔开来的，这些有理数就不可能填满一条直线、一个平面或者一个长方体，因此就人为地用一个个存在体积的长方体去套这个区间，从而计算出这样的有理数集合的体积。
